• Stein算法:求最大公约数的另一种算法

    解决大素数问题
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    欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,无论是从理论,还是从效率上都是很好的。但是它有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。

    考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位, 对于这样的整数,计算两个数值就的模很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

    Stein算法由J.Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。

    为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:

    • gcd(a, a) = a, 也就是一个数和他自己的公约数是其自身。
    • gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数比如能被2整除。

    有了上述规律就可以给出Stein算法如下:

    1. 如果A=0,B是最大公约数,算法结束 
    2. 如果B=0,A是最大公约数,算法结束 
    3. 设置A1 = A、B1=B和C1 = 1 
    4. 如果An和Bn都是偶数,则An+1 =An /2,Bn+1 =Bn /2,Cn+1 =Cn *2(注意,乘2只要把整数左移一位即可,除2只要把整数右移一位即可) 
    5. 如果An是偶数,Bn不是偶数,则An+1 =An /2,Bn+1 =Bn ,Cn+1 =Cn (很显然啦,2不是奇数的约数) 
    6. 如果Bn是偶数,An不是偶数,则Bn+1 =Bn /2,An+1 =An ,Cn+1 =Cn (很显然啦,2不是奇数的约数) 
    7. 如果An和Bn都不是偶数,则An+1 =|An -Bn|,Bn+1 =min(An,Bn),Cn+1 =Cn 
    8. n++,转4 

    这个算法的原理很显然,所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。 

    给出一个C++的实现:

    int Gcd(int a, int b)
    {
        if(a == 0) return b;
        if(b == 0) return a;
        if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1);
        else if(a % 2 == 0)  return gcd(a >> 1, b);
        else if(b % 2 == 0) return gcd(a, b >> 1);
        else return gcd(abs(a - b), Min(a, b));
    }
    

    Stein算法的python实现如下:

    def gcd_Stein(a, b):    
        if a < b:
            a, b = b, a
        if (0 == b):
            return a
        if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:
            return 2 * gcd_Stein(a/2, b/2)
        if a % 2 == 0:
            return gcd_Stein(a / 2, b)
        if b % 2 == 0:
            return gcd_Stein(a, b / 2)
        
        return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2) 
    

    考虑欧几里德算法,最恶劣的情况是,每次迭代a = 2b -1,这样,迭代后,r= b-1。如果a小于2N,这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法,每次迭代后,显然AN+1BN+1≤ ANBN/2,最大迭代次数也不超过4N次。也就是说,迭代次数几乎是相等的。但是,需要注意的是,对于大素数,试商法将使每次迭代都更复杂,因此对于大素数Stein将更有优势。

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现代魔法 推荐于 2013-02-27 10:23   

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