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寻找和为给定数的连续正整数数列

2011-03-05

比如 sn = 100 时,总和为100 的连续正整数数列有

100
18 19 20 21 22
9 10 11 12 13 14 15 16

对于这种算法的设计,我们最容易想到的就是从 1 到 sn 循环遍历所有的数,对于每个数再循环计算是否以这个数为起点总和正好是sn。这种算法的时间复杂度大概是O(n*log2n), 也就是说如果这样计算,当 sn = 100万时,大概需要循环 2000万次左右。 这样做效率自然是比较低的。那么我们有没有比上述方法更高效的方法呢?答案是肯定的。

首先我们看等差数列求和的公式:Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2

从这个公式我们不难看出当 Sn 和 n 固定时求a1 是一个线性函数:a1 = (Sn – n(n-1)/2) / n

有了这个函数,优化这个算法就很简单了,我们只要把 n 从 1 开始遍历,一直遍历到 (Sn – n(n-1)/2) < n 为止,就可以找到所有的符合条件的连续数列了,这个算法的算法复杂度为 2N 的平方根,也就是说当 Sn = 100 万时,只需要循环1414次就可以得到所有的数列。

题目:在1~500这500个整数中,找出连续相加等于500的数?

简要分析:int[] X={1,2,i,…………499}

条件是:i+(i+1)+ ……+(i+k)=500 (1式)

运用等差数列求和公式:(k+1)*i+(k+1)*k/2=500 (2式)

其中i和k还有一个隐藏关系i*k<500 (3式)

于是很自然得到如下解法:

	private static void GetSomeInt(int maxInt)
      {
          for (int i = 1; i < (maxInt - 1); i++)
          {
              for (int k = 1; k < (maxInt / i); k++)
              {
                  if (((k + 1) * i + k * (k + 1) / 2) == maxInt)
                  {
                      /*******************输出结果集*********************/
                      string result = "xi=";
                      for (int s = 0; s < (k + 1); s++)
                      {
                          result += (i + s).ToString() + ";";
                      }
                      result = result.TrimEnd(';');
                      Console.WriteLine(result);
                      /************************************************/
                  }
              }
          }
      } 

得出结果:

xi=8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23;24;25;26;27;28;29;30;31;32
xi=59;60;61;62;63;64;65;66
xi=98;99;100;101;102

这个算法 sn = 100 万时,循环次数是 12970034 次,比之前说的算法效率上要低将近1万倍。

下面给出差点的算法代码

       static void ListSequence(int sn)
        {
            //忽略 sn 不是正整数的情况
            if (sn <= 0)
            {
                return;
            }
 
            int n = 1; //n 从1 开始遍历
 
            int m = sn - n * (n - 1) / 2; //m 为 Sn – n(n-1)/2
 
            while (m >= n) //当m < n 时即 Sn – n(n-1)/2 < n 时退出循环
            {
                if (m % n == 0) //如果m 可以被 n 整除,则存在连续n个正整数序列总和为sn。
                {
                    int a1 = m / n; //求a1
 
                    //打印符合条件的连续数列
                    for (int i = a1; i < a1 + n; i++)
                    {
                        Console.Write(string.Format("{0} ", i));
                    }
                    Console.WriteLine();
                }
 
                n++; //n 加1
                m = sn - n * (n - 1) / 2; //下一个 m
            }
 
            Console.WriteLine("循环次数:{0}", n);
        }
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