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欧几里德算法(辗转相处算法)练习

2010-10-15

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理: 定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b。

假设d是a,b的一个公约数,则有:a % d == 0 , b % d == 0,而r = a - kb,因此 r % d == 0 。因此d是(b,a mod b)的公约数。

假设d 是(b,a mod b)的公约数,则b % d == 0 , r % d == 0 ,但是a = kb +r 所以 a % d == 0。因此d也是(a,b)的公约数。

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。欧几里德算法就是根据这个原理来做的。

/*==================================================*\
| GCD 最大公约数
\*==================================================*/
int gcd(int x, int y)
{
     if (!x || !y) return x > y ? x : y;

     for (int t; t = x % y; x = y, y = t);
    
     return y;
}
/*==================================================*\
| 快速 GCD
\*==================================================*/
int kgcd(int a, int b)
{
	if (a == 0) return b;
	if (b == 0) return a;
	if (!(a & 1) && !(b & 1)) 
		return kgcd(a>>1, b>>1) << 1;
	else if (!(b & 1)) 
		return kgcd(a, b>>1);
	else if (!(a & 1)) 
		return kgcd(a>>1, b);
	else return 
		kgcd(abs(a - b), min(a, b));
}
/*==================================================*\
| 扩展 GCD
| 求x, y使得gcd(a, b) = a * x + b * y;
\*==================================================*/
int extgcd(int a, int b, int & x, int & y)
{
	if (b == 0) 
	{ 
		x=1; y=0; 
		return a; 
	}
	int d = extgcd(b, a % b, x, y);
	
	int t = x; x = y; y = t - a / b * y;
	
	return d;
}
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