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KMP快速字符串查找算法

2011-03-22

在C/C++语言编程过程中,一般的字符串搜索操作都是通过标准库的strstr()函数来完成的,这在通常的情况下,因为字符串的搜索操作不多,并不会产生效率问题。实际上,这个函数的时间复杂度不容乐观。如果要从长度为n的字符串中查找长度为m的子字符串,那么这个strstr()函数的最坏时间复杂度为O(n*m),可见,随着子字符串长度m的增大,strstr()函数的时间复杂度也相应地成倍增加,有没有更加高效的算法呢?

KMP(Knuth-Morris-Pratt)算法通过预先计算模式字符串中相应字符处的回溯索引,避免了模式匹配时不必要的回溯操作,从而提高了效率,将时间复杂度变成了O(m+n)。

KMP字符串查找(匹配)算法最大的好处,并不是它比strstr快,而是它不回溯。这是很奇妙的一个特征。这意味着目标文本只需要提供一个取得下一个字符的函数(在WINX中,这个函数叫get),就可以实现搜索。这对KMP算法的客户而言,无疑是非常有利的一件事情。

WINX的KMP字符串查找(匹配)算法总体来说用法很简单,唯一需要注意的是,和一般的匹配算法不同,WINX匹配成功后,目标文本中当前位置(position)指向的是被匹配串的末尾,而不是开始。例如,C库的strstr("1234abcdefg", "abc"),返回的结果是指向"abcdefg"中的'a'。而WINX的KMP算法返回的是"defg"中的'd'。

Java SDK的String类中的indexOf方法没有使用KMP搜索,基本上算是最简单的搜索:

    /**
     * Code shared by String and StringBuffer to do searches. The source is the
     * character array being searched, and the target is the string being
     * searched for.
     * 
     * @param source
     *            the characters being searched.
     * @param sourceOffset
     *            offset of the source string.
     * @param sourceCount
     *            count of the source string.
     * @param target
     *            the characters being searched for.
     * @param targetOffset
     *            offset of the target string.
     * @param targetCount
     *            count of the target string.
     * @param fromIndex
     *            the index to begin searching from.
     */
    static int indexOf(char[] source, int sourceOffset, int sourceCount,
            char[] target, int targetOffset, int targetCount, int fromIndex) {

        // if start from a position that is beyond the source string
        if (fromIndex >= sourceCount) {
            // return the string length if target string is empty, otherwise,
            // return -1 which means match fails
            return (targetCount == 0 ? sourceCount : -1);
        }

        // correct the fromIndex
        if (fromIndex < 0) {
            fromIndex = 0;
        }

        // if target string is empty, return fromIndex
        if (targetCount == 0) {
            return fromIndex;
        }

        // first char to match
        char first = target[targetOffset];

        /*
         * a little optimize. let's say the source string length is 9 and the
         * target String length is 7. Then starting from 3 (index is 2) of
         * source string is the last change to match the whole target sting.
         * Otherwise, there are only 6 characters in source string and it would
         * definitely not going to match the target string whose length is 7.
         */
        int max = sourceOffset + (sourceCount - targetCount);

        // loop from the first to the max
        for (int i = sourceOffset + fromIndex; i <= max; i++) {
            /* Look for first character. */
            if (source[i] != first) {
                // using i <= max, not i < max
                while (++i <= max && source[i] != first)
                    ;
            }

            /* Found first character, now look at the rest of v2 */
            if (i <= max) {
                int j = i + 1;
                int end = j + targetCount - 1;
                // using j < end, not j <= end
                for (int k = targetOffset + 1; j < end
                        && source[j] == target[k]; j++, k++)
                    ;

                if (j == end) {
                    /* Found whole string. */
                    return i - sourceOffset;
                }
                // if match fails, i++ and loop again, there are to iterators
                // for two loops. i and j.
            }
        }
        return -1;
    }

这是Java String中的搜索算法,对于原字符串使用了两个指针来进行搜索。但是实质上来讲,这个算法还是有回溯的,可以看出来,每次搜索的时候,j都会搜索到一个大于i的位置,而如果搜索失败,则下次搜索将是从i++开始,这就是回溯了。

KMP的优势就是没有回溯,这对于只能够使用一个指针进行搜索的情况下,不仅仅有效率上的优势,实现起来也更自然。当然对于数组来说,使用俩指针并没有什么不便,如果是对于文件或者输入流进行搜索,那回溯起来就会很麻烦了。下面是KMP搜索。

KMP算法的核心就是不回溯原字符串指针,这点其实不难做到,重要的是要想到这一点——对于回溯的字符,其实都是已知的。解释一下就是,比如在"abcdefg"中搜索"abcdeg",前五个字符"abcdeg"都是匹配的,第六个字符f和g不匹配,这时候,对于上面的搜索算法,i将会+1,整个匹配重新开始一次,这就是回溯了。但是仔细想一下,回溯其实完全可以避免的,因为如果知道是在第六个字符不匹配,那就说明前五个字符都是匹配的,从而说明"知道回溯之后的字符是什么",对于这个例子来说,我们肯定知道源字符串前面五个字符是"abcde"。这是KMP搜索的根基。

好,下面让我们抛开源字符串吧!我们只关心目标字符串,也就是"abcdeg"。下面我们来设想,如果在搜索中发现源字符串的【n】字符和目标字符串的【m】字符匹配失败,那说明什么呢?说明之前的字符都是匹配的,否则也不会走到这里。也就是源字符串的【n-m】到【n-1】这m个字符与目标字符串的【0】到【m-1】这m个字符匹配。既然已经在搜索之前知道这个相等关系,那何苦在搜索的时候一次又一次的回溯呢?这个本来就是可以预测的,是搞一次就得的事情。因为源字符串的【n-m】到【n-1】是已知的。所以不用每次都死板的回溯到源字符串的n-m+1。

举例来说,对于在"abababc"中搜索"ababc",第一次不匹配的情况如下

0 1 2 3 4 5 6
a b a b a b c
a b a b c
        ^

这时候,如果把指针回溯到源字符串的1位置,其实没有意义的,因为它是b,和目标字符串的a不匹配。而且,我们其实已经知道源字符串0到3这四个字符的值是跟目标字符串的四个字符一样的,都是abab。KMP的思想就是,充分利用这个已知条件,"源字符串不回溯,尽量让目标字符串少回溯,然后继续进行搜索"。那应该让目标字符串回溯到什么地方呢?这就看已经匹配的字符串的内容了。

使用S代表源字符串,T代表目标字符串,S[n]和T[m]失配(注意,因为失配了,这时候S[n]是什么是不知道的)。对于源字符串已知的只有S[n-m+1]到S[n-1]这m-1个字符。假设能够找到这样一个k,使得S[n-k]...S[n-1]=T[0]....T[k-1] (0<k<m),那么就只需要保持S不回溯,让T回溯到K,然后继续匹配就好了。而如果能够找到一个最大的K值,那么效率则是最高的。

对于上面的例子,k的值是2,KMP搜索的下一个状态是:

0 1 2 3 4 5 6
a b a b a b c
    a b a b c
        ^

然后继续匹配就成功啦。

所以,KMP算法的核心是,如何为目标字符串的每个位置的找到一个k值,组成一个数组F,好在每次匹配到目标字符串的m失配的时候,将目标字符串回溯到F[m],然后继续进行匹配。找到这个数组之后,KMP搜索就算是完成80%了。

下面是构建这个数组F的方法。

这时候目标字符串身兼源字符串和目标字符串两个角色。构建数组T可以说是一个步进的过程,需要用到之前的结果。首先是F[0],F[0]的意思是第一个字符就不匹配,也就是说对源字符串一无所知,这时候没得搞了,直接要源字符串向前挪动一个。在F里,我们使用-1来标记第一个字符就匹配失败的情况。也就是F[0]=-1。F[1]其实肯定是0。我们真正需要计算的是从F[2]到最后的。下面是>=2的时候的计算方法。注意,F[i]代表S的第i个字符匹配"失败"的时候,T需要回溯到的索引的值。如何求F[i]的值呢?首先取得F[i-1]的值,然后看S[i-1]是否=T[F[i-1]],如果等于,那么F[i]=F[i-1]+1。这个原理是递归的。F[i-1]的值是在i-1失配的时候,T索引回溯到的值,如果这时候,这个值与S[i-1]相等,那就说明F[i]可以在F[i-1]的基础上增加1了。否则继续检查S[i-1]是否等于T[[F[i-1]]],直到没有的搜索了,就是0。下面是具体的代码:

/**
     * each value of array rollback means: when source[i] mismatch pattern[i],
     * KMP will restart match process form rollback[j] of pattern with
     * source[i]. And if rollback[i] == -1, it means the current source[i] will
     * never match pattern. then i should be added by 1 and j should be set to
     * 0, which means restart match process from source[i+1] with pattern from
     * pattern[0].
     * 
     * @param pattern
     * @return
     */
    private static int[] getRollbackArray(char[] pattern) {
        int[] rollback = new int[pattern.length];
        for (int i = 0; i < pattern.length; i++) {
            rollback[i] = 0;
        }
        rollback[0] = -1;
        for (int i = 1; i < rollback.length; i++) {
            char prevChar = pattern[i - 1];
            int prevRollback = i - 1;
            while (prevRollback >= 0) {
                int previousRollBackIdx = rollback[prevRollback];
                if ((previousRollBackIdx == -1)
                        || (prevChar == pattern[previousRollBackIdx])) {
                    rollback[i] = previousRollBackIdx + 1;
                    break;
                } else {
                    prevRollback = rollback[prevRollback];
                }
            }
        }
        return rollback;
    }

上面并没有吧F[1]=1写成固定的,不过根据计算,F[1]始终是=0的。有了这个rollback数组,KMP搜索就是水到渠成了:

/**
     * search pattern chars in source chars.
     * 
     * @param source
     * @param pattern
     * @return
     */
    public static int searchKMP(char[] source, char[] pattern) {
        // validation
        if (source == null || source.length == 0 || pattern == null
                || pattern.length == 0) {
            return -1;
        }

        // get the rollback array.
        int[] rollback = getRollbackArray(pattern);

        // incremental index of pattern. pointing the char to compare with.
        int currMatch = 0;
        int len = pattern.length;
        // i point the char to compare with
        for (int i = 0; i < source.length;) {
            // if current char match
            if ((currMatch == -1) || (source[i] == pattern[currMatch])) {
                /*
                 * then each of the indexes adding by one, moving to the next
                 * char for comparation. notice that if currMatch is -1, it
                 * means the first char in pattern can not be matched. so i add
                 * by one to move on. and currMatch add by one so its value is
                 * 0.
                 */
                i++;
                currMatch++;
                /*
                 * if reaches the end of pattern, then match success, return the
                 * index of first matched char.
                 */
                if (currMatch == len) {
                    return i - len;
                }
            } else {
                /*
                 * if current char mismatch, then rollback the next char to
                 * compare in pattern.
                 */
                currMatch = rollback[currMatch];
            }
        }
        return -1;
    }

下面是几个测试方法:

    @Test
    public void testRollBackArray() {
        int[] expectedRollback = new int[] { -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0,
                0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 0 };
        int[] rollback = getRollbackArray("PARTICIPATE IN PARACHUTE"
                .toCharArray());
        Assert.assertArrayEquals("Rollback array compare failed to match!",
                expectedRollback, rollback);
    }

    @Test
    public void testKMPSearchMatch() {
        int matchIndex = searchKMP(
                "aaaaaababacbaslierjalsdzmflkasjf".toCharArray(),
                "ababacb".toCharArray());
        Assert.assertEquals(5, matchIndex);

        matchIndex = searchKMP(
                "aaaaaababacbaslierjalsdzmflkasjf".toCharArray(),
                "aaaaaababacbaslierjalsdzmflkasjf".toCharArray());
        Assert.assertEquals(0, matchIndex);
    }

    @Test
    public void testKMPSearchNoMatch() {
        int matchIndex = searchKMP("ABCABCDABABCDABCDABDE".toCharArray(),
                "hjABCDABD".toCharArray());
        Assert.assertEquals(-1, matchIndex);

    }

把这三段代码放在一个类里,KMP搜索就算是完事儿了。

在自己看KMP算法之前,很多文章都说神马KMP有代价,只适合目标字符串很长很长,搜索字符串也很长很长的case。但是就我看下来,KMP对于日常一般的搜索也是有优势的。首先,构建rollback数组计算并不复杂,当然需要一个额外的数组空间。但是对于匹配来说,还是有很大的加速优势的,而且目标字符串不需要回溯。所以KMP唯一的代价就是需要一个额外的数组,实际占用的内存应该是目标字符串的两倍(String是char的数组,char=short,int是char的两倍)。难道,真的是为了节省内存所以不采用KMP搜索?

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