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大范围内素数的求法的效率问题

2011-04-18

素数的定义:只能被1和它自己整除的自然数称为素数,特别规定1不属于素数。

根据素数的定义,很明显,如果一个数是素数<==>它的因子只包含1和它本身。因此可以根据判别某个数的因子的方法来判断其是否是素数。

int isprime(int n)
{
    int i;
    for(i=2;i<=(int)sqrt((double)n);i++)
    {
        if(n%i==0)    //如果n存在其它因子,则必定不是素数
         {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

但是如果要求求出1000000以内的所有素数,上面的方法效率就很低,因此通常采用筛选法去求素数。筛选法:对于一个数n,如果是素数,那么2*n,3*n,4*n,必定不是素数。

bool isprime[1000001];
int prime[80000];
int num=0;

void getPrime()     //用筛选法求算素数
{
    int i,j;
    for(i=0;i<1000001;i++)
    {
        isprime[i]=true;
    }
    for(i=2;i<=1000;i++)        //如果isprime[i]==true,即i是素数,那么i,2*i,3*i必定不是素数
     {
        for(j=i+i;j<=1000000;j+=i)
        {
            if(isprime[i]==true)
                isprime[j]=false;
        }
    }
    for(i=2;i<1000001;i++)
    {
        if(isprime[i]==true)
        {
            prime[num++]=i;
        }
    }
}

筛选法求素数有一个很通用的算法,就是在遍例该集合时,比方检验一个数N是否素数,用N除以2-N的开方,只要有一个能整除,就说明N不是素数。另外这道题要求用数组来计算。

所谓"筛选法"指的是"埃拉托色尼(Eratosthenes)筛法"。他是古希腊的著名数学家。他采取的方法是,在一张纸上写上1到100全部整数,然后逐个判断它们是否是素数,找出一个非素数,就把它挖掉,最后剩下的就是素数。

具体做法如下:

  1. 先将1挖掉(因为1不是素数)。
  2. 用2去除它后面的各个数,把能被2整除的数挖掉,即把2的倍数挖掉。
  3. 用3去除它后面的各数,把3的倍数挖掉。
  4. 分别用4、5…各数作为除数去除这些数以后的各数。这个过程一直进行到在除数后面的数已全被挖掉为止。例如找1~50的素数,要一直进行到除数为47为止(事实上,可以简化,如果需要找1~n范围内素数表,只需进行到除数为n^2(根号n),取其整数即可。例如对1~50,只需进行到将50^2作为除数即可。)

如上算法可表示为:

  1. 挖去1;
  2. 用刚才被挖去的数的下一个数p去除p后面各数,把p的倍数挖掉;
  3. 检查p是否小于n^2的整数部分(如果n=1000, 则检查p<31?),如果是,则返回(2)继续执行,否则就结束;
  4. 纸上剩下的数就是素数。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main(void)
{
    int i;
    int j;
    int a[101];                // 为直观表示,各元素与下标对应,0号元素不用
    for (i = 1; i <= 100; i++) // 数组各元素赋值
        a[i] = i;
    for (i = 2; i < sqrt(100); i++)     // 外循环使i作为除数
        for (j = i + 1; j <= 100; j++)  // 内循环检测除数i之后的数是否为i的倍数
        {
            if (a[i] != 0 && a[j] != 0) // 排除0值元素
                if (a[j] % a[i] == 0)
                    a[j] = 0;           // i后数若为i的倍数,刚将其置0(挖去)
        }
    int n = 0;    // 对输出素数计数, 以控制换行显示
    for (i = 2; i <= 100; i++)    // 输出素数
    {
        if (a[i] != 0)
        {
            printf("%-5d", a[i]); // 输出数组中非0元素(未挖去的数)
            n++;
        }
        if (n == 10)
        {
            printf("\n");         // 每行10个输出
            n = 0;
        }
    }
    printf("\n");
    return 0;
}
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