如何用牛顿法求一个数的平方根

牛顿的逐步逼进方法
服务器君一共花费了215.596 ms进行了5次数据库查询,努力地为您提供了这个页面。
试试阅读模式?希望听取您的建议

SCIP 1.1.7的一个练习。

牛顿迭代法(Newton's method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method),它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根,选取x0作为r初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y = f(x)的切线L,L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值。

过点(x1,f(x1))做曲线y = f(x)的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1),称x2为r的二次近似值。重复以上过程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n)),称为r的n+1次近似值,上式称为牛顿迭代公式。

根据牛顿迭代的原理,可以得到以下的迭代公式:X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2

一般性的编程方法如下:

double sqr(double n) { 
    double k=1.0; 
    while(abs(k*k-n)>1e-9) { 
        k=(k+n/k)/2; 
    } 
    return k; 
}

求n的平方根,先随便取一个不是0的数作为迭代开始的x(0),例如最简单的x(0)=1,然后反复代入x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]求得下一个x,代入次数越多解约精确。

例如,2的平方根:

  • x(0) = 1
  • x(1) = (1/2)(1+2/1) = 3/2 = 1.5
  • x(2) = (1/2)[3/2+2/(3/2)] = 17/12 = 1.41666667
  • x(3) = (1/2)[17/12 + 2/(17/12)] = 577/408 = 1.41421568…

就这样,反复代入上式计算,得到的值越来越精确。

或者这么解释:

  1. 对x的平方根的值一个猜想y。
  2. 通过执行一个简单的操作去得到一个更好的猜测:只需要求出y和x/y的平均值(它更接近实际的平方根值)。

例如,可以用这样方式去计算2的平方根

猜想平均值
1 2/1=2 (2+1)/2 = 1.5
1.5 2/1.5=1.3333   (1.3333+1.5)/2 = 1.4167
1.4167 2/1.4167=1.4118  (1.4167+1.4118)/2=1.4142
1.4142     ...         ...

继续这一计算过程,我们就能得到对2的平方根的越来越好的近似值。

下面用C语言实现一遍:

#include "stdio.h"
#include "math.h"

int main(void)
{
    double n,y=1.0;

    printf("请输入一个需要求其平方根的数:");
    scanf("%lf",&n);

    // 反复代入 x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]
    while(fabs((1.0/2.0*(y+n/y))-y)>=0.00001)
    {
        y=1.0/2.0*(y+n/y);
        printf( "y=%lf\n", y );
    }
    printf("平方根为%f\n",y);
    return 0;
}

程序运行结果:

请输入一个需要求其平方根的数:2
y=1.500000
y=1.416667
y=1.414216
平方根为1.414216

请输入一个需要求其平方根的数:3
y=2.000000
y=1.750000
y=1.732143
y=1.732051
平方根为1.732051

PS:Quake III公开源码后,有人在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒,经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍,有兴趣的可以研究一下。不过这是后话了,

float Q_rsqrt( float number )
{
	long i;
	float x2, y;
	const float threehalfs = 1.5F;
	x2 = number * 0.5F;
	y  = number;
	i  = * ( long * ) &y;        
	i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); 
	y  = * ( float * ) &i;
	y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); 
	// y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); 
	#ifndef Q3_VM
	#ifdef __linux__
	assert( !isnan(y) ); 
	#endif
	#endif
	return y;
}

本文地址:http://www.nowamagic.net/librarys/veda/detail/2268,欢迎访问原出处。

不打个分吗?

转载随意,但请带上本文地址:

http://www.nowamagic.net/librarys/veda/detail/2268

如果你认为这篇文章值得更多人阅读,欢迎使用下面的分享功能。
小提示:您可以按快捷键 Ctrl + D,或点此 加入收藏

阅读一百本计算机著作吧,少年

很多人觉得自己技术进步很慢,学习效率低,我觉得一个重要原因是看的书少了。多少是多呢?起码得看3、4、5、6米吧。给个具体的数量,那就100本书吧。很多人知识结构不好而且不系统,因为在特定领域有一个足够量的知识量+足够良好的知识结构,系统化以后就足以应对大量未曾遇到过的问题。

奉劝自学者:构建特定领域的知识结构体系的路径中再也没有比学习该专业的专业课程更好的了。如果我的知识结构体系足以囊括面试官的大部分甚至吞并他的知识结构体系的话,读到他言语中的一个词我们就已经知道他要表达什么,我们可以让他坐“上位”毕竟他是面试官,但是在知识结构体系以及心理上我们就居高临下。

所以,阅读一百本计算机著作吧,少年!

《敏捷软件开发(原则模式与实践)》 马丁 (作者), 邓辉 (译者)

《敏捷软件开发:原则模式与实践》由享誉全球的软件开发专家和软件工程大师Robert C.Martin将向您展示如何解决软件开发人员、项目经理及软件项目领导们所面临的最棘手的问题。这本综合性、实用性的敏捷开发和极限编程方面的指南,是由敏捷开发的创始人之一所撰写的。1.讲述在预算和实践要求下,软件开发人员和项目经理如何使用敏捷开发完成项目;2.使用真实案例讲解如何用极限编程来设计、测试、重构和结对编程;3.包含了极具价值的可多次使用的C++和JAVA源代码;4.重点讲述了如何使用UML和设计模式解决面向客户系统的问题。

更多计算机宝库...