约瑟夫环(Josephus)问题的C++算法模拟

约瑟夫环算法解析
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问题描述:编号为1,2,………,n的n个人按顺时针方向围坐一圈,每人持有一个密码(正整数)。一开始任选一个正整数作为报数上限值m,从第一个人开始按顺时针方向自1开始顺序报数,报到m时停止报数。报m的人出列,将他的密码作为新的m值,从他在顺时针方向上的下一个人开始重新从1报数,如此下去,直至所有人全部出列为止。试设计一个程序求出出列顺序。

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。

为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:

问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始): k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2,并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换:

k --> 0 
k+1 --> 1 
k+2 --> 2 
... 
... 
k-2 --> n-2 
k-1 --> n-1 

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n。

如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]。

递推公式:

f[1]=0; 
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1。

程序如下:

#include <iostream>
using namespace std;
/*人物的定义,包含自己的编号,所持的密码,和指向下一个的指针*/ 
struct Person 
{ 
    int num; 
    int cipher; 
    Person * next; 
};
Person person[7];
void Circle();
void main() 
{ 
	Circle(); 
    int m;//开始时输入的起始密码值 
    cin>>m;
    Person * currentPerson;//方便对人物链表的搜索 
    Person * prePerson;
    currentPerson=&person[0];//开始时将指针指向人物的第一个和最后一个 
    prePerson=&person[6];
    while(currentPerson!=prePerson) 
    { 
        for(int i=1;i<m;i++)//移动指针,使其指向需要移出的人物 
        { 
            prePerson=currentPerson; 
            currentPerson=currentPerson->next; 
        } 
        m=currentPerson->cipher; 
        cout<<currentPerson->num<<"  ";//输出人物的编号
        prePerson->next=currentPerson->next;//修改链表,使选定的人物移出 
        currentPerson=prePerson->next; 
    }
    cout<<currentPerson->num;//输出最后一个人物的编号 
    cin>>m; 
}
void Circle()//对人物的属性进行编辑 
{ 
    for(int i=0;i<7;i++) 
    { 
        person[i].num=i+1; 
        person[i].next=&person[i+1]; 
    } 
    person[6].next=&person[0];//使最后一个人物的指针指向第一个,构成循环链表
    person[0].cipher=3; 
    person[1].cipher=1; 
    person[2].cipher=7; 
    person[3].cipher=2; 
    person[4].cipher=4; 
    person[5].cipher=8; 
    person[6].cipher=4; 
}

这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。

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